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Kalman于1960年提出的一种线性、无偏、最优状态估计方法适用于加粗线性高斯系统/加粗。其核心思想是通过“预测-更新”的迭代过程结合系统的运动模型和观测模型最小化状态估计的均方误差。2.1.1 核心假设系统动力学模型和观测模型均为线性过程噪声和观测噪声均服从零均值、高斯分布且两者互不相关。2.1.2 数学模型设离散时间线性系统的状态方程和观测方程分别为状态方程\( \mathbf{x}_{k} \mathbf{A}_{k} \mathbf{x}_{k-1} \mathbf{B}_{k} \mathbf{u}_{k} \mathbf{w}_{k-1} \)观测方程\( \mathbf{z}_{k} \mathbf{C}_{k} \mathbf{x}_{k} \mathbf{v}_{k} \)其中\( \mathbf{x}_{k} \in \mathbb{R}^n \) 为k时刻系统状态向量\( \mathbf{u}_{k} \in \mathbb{R}^m \) 为k时刻控制输入向量\( \mathbf{z}_{k} \in \mathbb{R}^p \) 为k时刻观测向量\( \mathbf{A}_{k} \in \mathbb{R}^{n \times n} \) 为状态转移矩阵\( \mathbf{B}_{k} \in \mathbb{R}^{n \times m} \) 为控制输入矩阵\( \mathbf{C}_{k} \in \mathbb{R}^{p \times n} \) 为观测矩阵\( \mathbf{w}_{k-1} \sim \mathcal{N}(0, \mathbf{Q}_{k-1}) \) 为过程噪声\( \mathbf{Q}_{k-1} \) 为过程噪声协方差矩阵\( \mathbf{v}_{k} \sim \mathcal{N}(0, \mathbf{R}_{k}) \) 为观测噪声\( \mathbf{R}_{k} \) 为观测噪声协方差矩阵。2.1.3 核心迭代步骤KF算法通过以下两步迭代实现状态估计加粗预测步/加粗基于上一时刻的状态估计值和控制输入预测当前时刻的先验状态和先验协方差矩阵。 状态预测\( \hat{\mathbf{x}}_{k|k-1} \mathbf{A}_{k} \hat{\mathbf{x}}_{k-1|k-1} \mathbf{B}_{k} \mathbf{u}_{k} \)协方差预测\( \mathbf{P}_{k|k-1} \mathbf{A}_{k} \mathbf{P}_{k-1|k-1} \mathbf{A}_{k}^T \mathbf{Q}_{k-1} \)其中\( \hat{\mathbf{x}}_{k|k-1} \) 为k时刻先验状态估计值\( \hat{\mathbf{x}}_{k-1|k-1} \) 为k-1时刻后验状态估计值\( \mathbf{P}_{k|k-1} \) 为先验协方差矩阵\( \mathbf{P}_{k-1|k-1} \) 为k-1时刻后验协方差矩阵。加粗更新步/加粗结合当前时刻的观测数据对先验估计进行修正得到后验状态估计值和后验协方差矩阵。 卡尔曼增益计算\( \mathbf{K}_{k} \mathbf{P}_{k|k-1} \mathbf{C}_{k}^T (\mathbf{C}_{k} \mathbf{P}_{k|k-1} \mathbf{C}_{k}^T \mathbf{R}_{k})^{-1} \)状态更新\( \hat{\mathbf{x}}_{k|k} \hat{\mathbf{x}}_{k|k-1} \mathbf{K}_{k} (\mathbf{z}_{k} - \mathbf{C}_{k} \hat{\mathbf{x}}_{k|k-1}) \)协方差更新\( \mathbf{P}_{k|k} (\mathbf{I} - \mathbf{K}_{k} \mathbf{C}_{k}) \mathbf{P}_{k|k-1} \)其中\( \mathbf{K}_{k} \) 为卡尔曼增益用于权衡先验估计和观测数据的可信度\( \mathbf{I} \) 为单位矩阵。2.2 扩展卡尔曼滤波EKF算法实际工程场景中大多数系统如自主移动机器人的动力学模型和观测模型均为加粗非线性/加粗无法直接应用KF算法。EKF算法通过“一阶泰勒展开线性化”的方式将非线性系统近似为线性系统进而沿用KF的框架实现状态估计适用于加粗弱非线性高斯系统/加粗。2.2.1 核心思想在当前状态估计值的邻域内对非线性的状态方程和观测方程进行一阶泰勒展开忽略高阶小项得到近似的线性化模型再将线性化后的状态转移矩阵、控制输入矩阵和观测矩阵代入KF的迭代公式完成状态估计。2.2.2 数学模型设离散时间非线性系统的状态方程和观测方程分别为状态方程\( \mathbf{x}_{k} f(\mathbf{x}_{k-1}, \mathbf{u}_{k}) \mathbf{w}_{k-1} \)观测方程\( \mathbf{z}_{k} h(\mathbf{x}_{k}) \mathbf{v}_{k} \)其中\( f(\cdot) \) 为非线性状态转移函数\( h(\cdot) \) 为非线性观测函数其余参数定义与KF一致。2.2.3 核心迭代步骤EKF的迭代过程同样分为“预测-更新”两步但增加了线性化环节加粗预测步/加粗 状态预测非线性递推\( \hat{\mathbf{x}}_{k|k-1} f(\hat{\mathbf{x}}_{k-1|k-1}, \mathbf{u}_{k}) \)线性化计算雅可比矩阵对状态转移函数 \( f(\cdot) \) 在 \( \hat{\mathbf{x}}_{k-1|k-1} \) 处求导得到雅可比矩阵 \( \mathbf{F}_{k} \frac{\partial f}{\partial \mathbf{x}} \bigg|_{\hat{\mathbf{x}}_{k-1|k-1}, \mathbf{u}_{k}} \)近似替代KF中的 \( \mathbf{A}_{k} \)若控制输入为非线性关联还需计算控制输入雅可比矩阵 \( \mathbf{G}_{k} \frac{\partial f}{\partial \mathbf{u}} \bigg|_{\hat{\mathbf{x}}_{k-1|k-1}, \mathbf{u}_{k}} \)近似替代 \( \mathbf{B}_{k} \)。协方差预测\( \mathbf{P}_{k|k-1} \mathbf{F}_{k} \mathbf{P}_{k-1|k-1} \mathbf{F}_{k}^T \mathbf{G}_{k} \mathbf{Q}_{k-1} \mathbf{G}_{k}^T \)若控制输入为线性\( \mathbf{G}_{k} \mathbf{B}_{k} \)。加粗更新步/加粗 线性化计算观测雅可比矩阵对观测函数 \( h(\cdot) \) 在 \( \hat{\mathbf{x}}_{k|k-1} \) 处求导得到雅可比矩阵 \( \mathbf{H}_{k} \frac{\partial h}{\partial \mathbf{x}} \bigg|_{\hat{\mathbf{x}}_{k|k-1}} \)近似替代KF中的 \( \mathbf{C}_{k} \)。卡尔曼增益计算\( \mathbf{K}_{k} \mathbf{P}_{k|k-1} \mathbf{H}_{k}^T (\mathbf{H}_{k} \mathbf{P}_{k|k-1} \mathbf{H}_{k}^T \mathbf{R}_{k})^{-1} \)状态更新\( \hat{\mathbf{x}}_{k|k} \hat{\mathbf{x}}_{k|k-1} \mathbf{K}_{k} (\mathbf{z}_{k} - h(\hat{\mathbf{x}}_{k|k-1})) \)其中 \( h(\hat{\mathbf{x}}_{k|k-1}) \) 为非线性观测预测值协方差更新\( \mathbf{P}_{k|k} (\mathbf{I} - \mathbf{K}_{k} \mathbf{H}_{k}) \mathbf{P}_{k|k-1} \)EKF的局限性一阶泰勒展开的近似误差会随着系统非线性程度的增加而增大可能导致滤波发散雅可比矩阵的计算复杂易出现数值不稳定问题。2.3 迭代扩展卡尔曼滤波IEKF算法IEKF是EKF的改进形式针对EKF一阶线性化近似误差较大的问题通过“多次迭代线性化”的方式提升非线性系统状态估计的精度适用于加粗中度非线性高斯系统/加粗。核心思想IEKF在EKF的更新步中引入迭代过程以EKF的先验状态估计值为初始迭代点计算观测函数的雅可比矩阵并完成第一次状态更新将第一次更新后的状态估计值作为新的线性化点重新计算雅可比矩阵和卡尔曼增益再次更新状态重复上述过程直至状态估计值收敛或达到预设迭代次数最终得到后验状态估计值。通过迭代线性化点不断逼近真实状态从而减小线性化近似误差。核心迭代步骤IEKF的预测步与EKF完全一致差异仅在于更新步的迭代过程加粗预测步/加粗与EKF相同得到先验状态 \( \hat{\mathbf{x}}_{k|k-1} \) 和先验协方差 \( \mathbf{P}_{k|k-1} \)。加粗更新步迭代过程 初始化迭代参数设迭代次数 \( i 0 \)初始迭代状态 \( \hat{\mathbf{x}}_{k|k}^{(0)} \hat{\mathbf{x}}_{k|k-1} \)迭代收敛阈值 \( \epsilon \)预设小正数。迭代计算 确定后验状态和协方差将收敛后的状态估计值作为后验状态 \( \hat{\mathbf{x}}_{k|k} \hat{\mathbf{x}}_{k|k}^{(i1)} \)协方差矩阵通常取最后一次迭代的结果或采用 \( \mathbf{P}_{k|k} (\mathbf{I} - \mathbf{K}_{k}^{(i1)} \mathbf{H}_{k}^{(i1)}) \mathbf{P}_{k|k-1} \)。计算观测雅可比矩阵\( \mathbf{H}_{k}^{(i)} \frac{\partial h}{\partial \mathbf{x}} \bigg|_{\hat{\mathbf{x}}_{k|k}^{(i)}} \)计算卡尔曼增益\( \mathbf{K}_{k}^{(i)} \mathbf{P}_{k|k-1} (\mathbf{H}_{k}^{(i)})^T (\mathbf{H}_{k}^{(i)} \mathbf{P}_{k|k-1} (\mathbf{H}_{k}^{(i)})^T \mathbf{R}_{k})^{-1} \)状态更新\( \hat{\mathbf{x}}_{k|k}^{(i1)} \hat{\mathbf{x}}_{k|k}^{(i)} \mathbf{K}_{k}^{(i)} (\mathbf{z}_{k} - h(\hat{\mathbf{x}}_{k|k}^{(i)})) \)收敛判断若 \( \|\hat{\mathbf{x}}_{k|k}^{(i1)} - \hat{\mathbf{x}}_{k|k}^{(i)}\| \epsilon \)则迭代收敛停止迭代否则令 \( i i 1 \)重复上述步骤直至达到预设最大迭代次数。IEKF的优势通过迭代减小了线性化近似误差估计精度高于EKF局限性迭代过程增加了计算量实时性略低于EKF需在精度和实时性之间权衡。三、四轮前驱自主移动机器人模型推导四轮前驱自主移动机器人的运动特性由其机械结构决定前轮为驱动轮提供动力和转向轮控制方向后轮为从动轮仅随动无驱动和转向功能。模型推导需基于机器人的运动学约束建立世界坐标系与机器人本体坐标系之间的转换关系进而得到状态方程运动学模型和观测方程观测模型。3.1 坐标系定义为明确机器人的位置和姿态定义两个核心坐标系加粗世界坐标系惯性坐标系记为 \( O_w - X_w Y_w \)为固定坐标系用于描述机器人在全局环境中的位置。原点 \( O_w \) 可任意设定如环境起始点\( X_w \) 轴和 \( Y_w \) 轴分别为水平和垂直方向。加粗机器人本体坐标系随动坐标系记为 \( O_r - X_r Y_r \)固连于机器人本体原点 \( O_r \) 取机器人几何中心或后轮轴中点\( X_r \) 轴沿机器人前进方向向前为正\( Y_r \) 轴垂直于 \( X_r \) 轴向左为正符合右手坐标系规则。机器人的姿态由本体坐标系相对于世界坐标系的偏转角 \( \theta \) 描述即 \( X_r \) 轴与 \( X_w \) 轴的夹角逆时针为正。3.2 运动学模型推导运动学模型描述机器人状态随时间的变化规律核心是建立状态向量对时间的导数与控制输入之间的关系连续时间模型再通过离散化得到适用于滤波算法的离散时间模型。3.2.1 状态向量与控制输入向量定义状态向量描述机器人核心运动状态\( \mathbf{x} [x, y, \theta, v, \omega]^T \)控制输入向量机器人可直接控制的物理量\( \mathbf{u} [v_c, \delta_c]^T \)3.2.2 运动学约束分析四轮前驱机器人的运动约束主要包括非滑动约束机器人运动过程中车轮与地面之间无相对滑动纯滚动即车轮接触点的速度在车轮切线方向的分量等于机器人本体速度垂直方向分量为零。非侧滑约束后轮为从动轮无转向功能其运动方向始终沿机器人前进方向\( X_r \) 轴因此后轮接触点的速度在 \( Y_r \) 轴方向的分量为零。3.2.3 连续时间运动学模型根据坐标系转换关系和运动学约束推导机器人状态的时间导数线速度与位置的关系机器人本体坐标系下的线速度 \( v \) 可分解为世界坐标系下的 \( X_w \) 和 \( Y_w \) 方向分量因此位置的时间导数为 \( \dot{x} v \cos\theta \)\( \dot{y} v \sin\theta \)角速度与姿态角的关系姿态角 \( \theta \) 的时间导数等于机器人的角速度 \( \omega \)即 \( \dot{\theta} \omega \)控制输入与线速度、角速度的关系前轮转向角 \( \delta \)实际转向角理想情况下等于指令 \( \delta_c \)决定了机器人的转向半径 \( R \)。设机器人轮距为 \( L \)前后轮轴之间的距离则转向半径 \( R \frac{L}{\tan\delta} \)当 \( \delta \neq 0 \) 时。根据圆周运动规律角速度 \( \omega \frac{v}{R} \frac{v \tan\delta}{L} \)。综合上述关系连续时间运动学模型状态方程为\( \dot{\mathbf{x}} \begin{bmatrix} \dot{x} \\ \dot{y} \\ \dot{\theta} \\ \dot{v} \\ \dot{\omega} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} v \cos\theta \\ v \sin\theta \\ \omega \\ a \\ \dot{\omega} \end{bmatrix} f(\mathbf{x}, \mathbf{u}) \)其中\( a \frac{v - v_{prev}}{\Delta t} \) 为线加速度由前后时刻的线速度差计算\( \dot{\omega} \frac{\omega - \omega_{prev}}{\Delta t} \) 为角加速度若忽略加速度动态简化模型可令 \( \dot{v} 0 \)、\( \dot{\omega} 0 \)此时 \( v v_c \)、\( \omega \frac{v_c \tan\delta_c}{L} \)简化后的连续模型为\( \dot{\mathbf{x}} \begin{bmatrix} v_c \cos\theta \\ v_c \sin\theta \\ \frac{v_c \tan\delta_c}{L} \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \)3.2.4 离散时间运动学模型滤波算法通常基于离散时间模型需对连续时间模型进行离散化采用一阶欧拉离散化适用于采样时间 \( \Delta t \) 较小的场景。设采样时间为 \( \Delta t \)k时刻与k-1时刻的状态满足\( \mathbf{x}_k \mathbf{x}_{k-1} \dot{\mathbf{x}}_{k-1} \cdot \Delta t \mathbf{w}_{k-1} \)代入简化后的连续模型得到离散时间运动学模型状态方程\( \begin{bmatrix} x_k \\ y_k \\ \theta_k \\ v_k \\ \omega_k \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_{k-1} v_{k-1} \cos\theta_{k-1} \cdot \Delta t \\ y_{k-1} v_{k-1} \sin\theta_{k-1} \cdot \Delta t \\ \theta_{k-1} \omega_{k-1} \cdot \Delta t \\ v_{c,k} \\ \frac{v_{c,k} \tan\delta_{c,k}}{L} \end{bmatrix} \mathbf{w}_{k-1} \)其中\( \mathbf{w}_{k-1} \sim \mathcal{N}(0, \mathbf{Q}) \) 为过程噪声主要来自驱动误差、转向误差和地面干扰\( \mathbf{Q} \) 为过程噪声协方差矩阵对角元素分别对应位置、姿态、速度、角速度的噪声方差。3.3 观测模型推导观测模型描述机器人传感器的测量值与状态向量之间的关系。四轮前驱自主移动机器人常用的观测传感器包括里程计测量车轮转速间接获取线速度、陀螺仪测量角速度、GPS测量全局位置、激光雷达/视觉传感器测量相对障碍物的位置间接修正自身状态。此处以“里程计GPS”的观测方案为例推导观测模型。3.3.1 观测向量定义观测向量为传感器测量值的集合\( \mathbf{z} [x_{gps}, y_{gps}, v_{odom}, \omega_{gyro}]^T \)其中\( x_{gps} \)、\( y_{gps} \) 为GPS测量的机器人全局位置\( v_{odom} \) 为里程计测量的机器人线速度\( \omega_{gyro} \) 为陀螺仪测量的机器人角速度。3.3.2 观测模型建立观测模型的核心是建立观测向量与状态向量之间的映射关系。理想情况下传感器测量值等于对应的状态量因此非线性观测函数 \( h(\cdot) \) 为\( h(\mathbf{x}) \begin{bmatrix} x \\ y \\ v \\ \omega \end{bmatrix} \)考虑观测噪声如GPS测量噪声、里程计误差、陀螺仪漂移实际观测方程离散时间为\( \mathbf{z}_k h(\mathbf{x}_k) \mathbf{v}_k \begin{bmatrix} x_k \\ y_k \\ v_k \\ \omega_k \end{bmatrix} \mathbf{v}_k \)其中\( \mathbf{v}_k \sim \mathcal{N}(0, \mathbf{R}) \) 为观测噪声\( \mathbf{R} \) 为观测噪声协方差矩阵对角元素分别对应GPS位置、里程计速度、陀螺仪角速度的噪声方差。3.3.3 雅可比矩阵计算EKF/IEKF用由于观测函数 \( h(\cdot) \) 为线性函数上述映射关系为线性其雅可比矩阵 \( \mathbf{H} \) 为常数矩阵计算如下\( \mathbf{H} \frac{\partial h}{\partial \mathbf{x}} \begin{bmatrix} 1 0 0 0 0 \\ 0 1 0 0 0 \\ 0 0 0 1 0 \\ 0 0 0 0 1 \end{bmatrix} \)若采用激光雷达等视觉传感器观测值为相对障碍物的距离和角度观测函数会变为非线性需重新推导 \( h(\cdot) \) 并计算对应的雅可比矩阵。四、总结本文系统阐述了KF、EKF、IEKF算法的基本原理KF适用于线性高斯系统通过“预测-更新”迭代实现最优估计EKF通过一阶泰勒展开线性化非线性系统扩展了KF的应用范围但存在线性化误差IEKF在EKF的更新步引入迭代减小了线性化误差提升了估计精度。在此基础上针对四轮前驱自主移动机器人通过定义坐标系、分析运动学约束推导得到了离散时间运动学模型状态方程和基于“GPS里程计”的观测模型并给出了EKF/IEKF所需的观测雅可比矩阵。该模型可直接用于机器人的状态估计与导航控制为后续滤波算法的工程实现提供了理论基础。⛳️ 运行结果 参考文献[1] 郭福成.基于运动学原理的单站无源定位与跟踪关键技术研究[D].中国人民解放军国防科学技术大学,2002.DOI:10.7666/d.y520720.[2] 高为广,潘娜娜,张晓东.改进的迭代EKF算法在伪卫星定位中的应用[J].测绘科学, 2008, 33(4):3.DOI:10.3771/j.issn.1009-2307.2008.04.024.[3] 李炳荣,马强,丁善荣.固定观测站对运动辐射源定位的IEKF算法及仿真[J].战术导弹技术, 2012(5):5.DOI:CNKI:SUN:ZSDD.0.2012-05-024. 部分代码 部分理论引用网络文献若有侵权联系博主删除 关注我领取海量matlab电子书和数学建模资料团队擅长辅导定制多种科研领域MATLAB仿真助力科研梦 各类智能优化算法改进及应用生产调度、经济调度、装配线调度、充电优化、车间调度、发车优化、水库调度、三维装箱、物流选址、货位优化、公交排班优化、充电桩布局优化、车间布局优化、集装箱船配载优化、水泵组合优化、解医疗资源分配优化、设施布局优化、可视域基站和无人机选址优化、背包问题、 风电场布局、时隙分配优化、 最佳分布式发电单元分配、多阶段管道维修、 工厂-中心-需求点三级选址问题、 应急生活物质配送中心选址、 基站选址、 道路灯柱布置、 枢纽节点部署、 输电线路台风监测装置、 集装箱调度、 机组优化、 投资优化组合、云服务器组合优化、 天线线性阵列分布优化、CVRP问题、VRPPD问题、多中心VRP问题、多层网络的VRP问题、多中心多车型的VRP问题、 动态VRP问题、双层车辆路径规划2E-VRP、充电车辆路径规划EVRP、油电混合车辆路径规划、混合流水车间问题、 订单拆分调度问题、 公交车的调度排班优化问题、航班摆渡车辆调度问题、选址路径规划问题、港口调度、港口岸桥调度、停机位分配、机场航班调度、泄漏源定位 机器学习和深度学习时序、回归、分类、聚类和降维2.1 bp时序、回归预测和分类2.2 ENS声神经网络时序、回归预测和分类2.3 SVM/CNN-SVM/LSSVM/RVM支持向量机系列时序、回归预测和分类2.4 CNN|TCN|GCN卷积神经网络系列时序、回归预测和分类2.5 ELM/KELM/RELM/DELM极限学习机系列时序、回归预测和分类2.6 GRU/Bi-GRU/CNN-GRU/CNN-BiGRU门控神经网络时序、回归预测和分类2.7 ELMAN递归神经网络时序、回归\预测和分类2.8 LSTM/BiLSTM/CNN-LSTM/CNN-BiLSTM/长短记忆神经网络系列时序、回归预测和分类2.9 RBF径向基神经网络时序、回归预测和分类2.10 DBN深度置信网络时序、回归预测和分类2.11 FNN模糊神经网络时序、回归预测2.12 RF随机森林时序、回归预测和分类2.13 BLS宽度学习时序、回归预测和分类2.14 PNN脉冲神经网络分类2.15 模糊小波神经网络预测和分类2.16 时序、回归预测和分类2.17 时序、回归预测预测和分类2.18 XGBOOST集成学习时序、回归预测预测和分类2.19 Transform各类组合时序、回归预测预测和分类方向涵盖风电预测、光伏预测、电池寿命预测、辐射源识别、交通流预测、负荷预测、股价预测、PM2.5浓度预测、电池健康状态预测、用电量预测、水体光学参数反演、NLOS信号识别、地铁停车精准预测、变压器故障诊断图像处理方面图像识别、图像分割、图像检测、图像隐藏、图像配准、图像拼接、图像融合、图像增强、图像压缩感知 路径规划方面旅行商问题TSP、车辆路径问题VRP、MVRP、CVRP、VRPTW等、无人机三维路径规划、无人机协同、无人机编队、机器人路径规划、栅格地图路径规划、多式联运运输问题、 充电车辆路径规划EVRP、 双层车辆路径规划2E-VRP、 油电混合车辆路径规划、 船舶航迹规划、 全路径规划规划、 仓储巡逻 无人机应用方面无人机路径规划、无人机控制、无人机编队、无人机协同、无人机任务分配、无人机安全通信轨迹在线优化、车辆协同无人机路径规划 通信方面传感器部署优化、通信协议优化、路由优化、目标定位优化、Dv-Hop定位优化、Leach协议优化、WSN覆盖优化、组播优化、RSSI定位优化、水声通信、通信上传下载分配 信号处理方面信号识别、信号加密、信号去噪、信号增强、雷达信号处理、信号水印嵌入提取、肌电信号、脑电信号、信号配时优化、心电信号、DOA估计、编码译码、变分模态分解、管道泄漏、滤波器、数字信号处理传输分析去噪、数字信号调制、误码率、信号估计、DTMF、信号检测电力系统方面微电网优化、无功优化、配电网重构、储能配置、有序充电、MPPT优化、家庭用电 元胞自动机方面交通流 人群疏散 病毒扩散 晶体生长 金属腐蚀 雷达方面卡尔曼滤波跟踪、航迹关联、航迹融合、SOC估计、阵列优化、NLOS识别 车间调度零等待流水车间调度问题NWFSP、置换流水车间调度问题PFSP、混合流水车间调度问题HFSP、零空闲流水车间调度问题NIFSP、分布式置换流水车间调度问题 DPFSP、阻塞流水车间调度问题BFSP